Circuito RL

preparado por  Reinaldo Baretti Machín (UPR-Humacao)

 

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  "Una buena teoría ha de ser capaz de realizar predicciones confirmables mediante nuevos experimentos u observaciones. Una teoría corroborada amplía el campo explicativo y permite actualizar el conocimiento de los hechos que se tienen del mundo."
tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa

"La teoría es cuando se sabe todo y nada funciona. La práctica es cuando todo funciona y nadie sabe por qué. En este caso hemos combinado la teoría y la práctica: nada funciona... y nadie sabe por qué." ,  Albert Einstein.
 

Objetivos

a) Plantear y resolver la ecuación diferencial (ED) del circuito  b) Predecir y verificar los voltajes a través del inductor y resistor

c) Medir la constante de tiempo del circuito  d) Deducir la resistencia del inductor   e)Calcular las potencias y energías en diferentes elementos del circuito.

 

 

 

 Fig. 1 Circuito RL.

 

Supongamos que la resistencia de inductor es Rind y la resistencia externa es Rext .

 

 El voltaje de la fuente (E) es igual a la caída a través del inductor, más la caída a través de las  resistencias ,

 

             E = L di/dt + (Rind + Rext )i  = L di/dt + R i       ,          ( 1  )

 

 donde L ~henry   , R( total) = Rinductor + R externa ~ ohms , i ~ amperios.  La expresión es una ecuacion diferencial (ED) de primer orden. Su solución requuiere especificar una condición inicial. La combinación   L/R ≡ τ ~segundos , define la escala de tiempo del circuito. El primer término L di/dt es la ley de Faraday y el segundo es  la ley de Ohm .

 

Para resolver (1) podemos emplear el método de separación de variables . Escribimos tras dividir por R

                                             

                                                                    (L/R) di/dt = τ (di/dt) =  (E/R - i)                                         . (2)

Separando los dos integrales indefinidos , de la variable dependiente  i(t) y el del tiempo t  ,

   

            ∫  di/(E/R-i) = -log (E/R-i) = ∫dt/τ = t/τ + C         ( C es una constante de integración )            .  (3)

Despejando por i(t)  ,

                                                    i(t) = (E/R) [1 - exp( C - t/τ ) ]                                                            . (4)

La condición inicial i(0) = 0 implica  que C = 0 por lo que la solución particular es 

 

                                                        i(t) = (E/R) [1 - exp(- t/τ ) ]                                                             . (5)

 

 

 Podemos comparar la ec.(5) con la ED del circuito RC ,   

                                               

                             E = R dq/dt + q/C  = caída en el resistor + caída en el capacitor                            .     (6)

Vemos las correspondencias q→ i  , R → L , (1/C) → R .

 

 

                                                                  

Al comienzo  i(0) = 0 por lo que de la (1) , E = L (di/dt)t=0 , a través del inductor aparece el voltaje de la batería. La corriente va aumentando y su derivada decrece hasta ser igual a cero ( di/dt) = 0. Todo el voltaje de la batería es igual a las caídas ohmicas

                                     E = (  Rind + R ext ) i ( t = “∞”)

                                         = Vind  + Vext                                                                                              .      (7)

Por lo tanto el voltaje final  a través del del inductor no es cero a menos que no tenga resistencia óhmica. Por el contrario en el caso de un inductor  ideal  Rinductor = 0 y el voltaje final a través del inductor es cero.

Los voltajes que vamos a medir , con el osciloscopio, son

                                              VRext (t) = Rext i(t)  = Rext * (E/Rtotal) (1- exp(-t/τ) )      ,   ( 8  )

                                               VL (t) = E - VRext  (t)                                                        . ( 9 ) 

 

 Graficamos  VRext  y   VL (t) , ecs ( 8) -(9 ) empleando MAXIMA ( http://maxima.sourceforge.net   ). El estudiante puede abrir MAXIMA y copiar los comandos enumerados a continuación.

 

Rind:50;Rext:100;L:0.15;Emf:5;Rtotal:Rind+Rext;tau:L/Rtotal;

curr(t):=(Emf/Rtotal)*(1-exp(-t/tau));VRext(t):=Rext*curr(t);

VL(t):=L*diff(curr(t),t)+Rind*curr(t); 

plot2d([VRext(t),VL(t)],[t,0,5*tau]);

 

 Fig. 2 . Aquí ,para trazar el gráfico,se supone conocido Rind = 50 Ω.

Grafico de VL(t)  (curva descendente) y VRext (t) ascendente donde tfinal = 5 τ .

 

Nótese que 

               VL (5 τ )/VRext (5 τ) ≈ Rind /Rext .   (10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La potencia suministrada por la batería es  E *i(t) ~vatios . En el campo magnético se almacena energía a razón de  ,

d UB /dt  = L (di/dt) i(t)  mientras se  disipa en los resistores a razón de  R i2  ~ vatios .

 

 

Equipo y materiales

 

Programa Data Studio

Sensor de voltaje

Multímetro para medir la resistencia

Inductor de 150 miliH

Resistencias de 100 Ω , 150 Ω

Cables con conectores

 

 

Supongamos que la Rinductor es desconocida y debemos hallarla ya sea midiendo los voltajes finales ó la constante τ . Escogemos Rext =R1 = 100 Ω en el primer ejercicio y R2 =150 Ω en el segundo .

 

Procedimiento y cuestión a resolverse

1. Active la computadora y el interfaz

2. Conecte el sensor de voltaje al canal A y active el osciloscopio.

3. Elija en el generador la señal cuadrada positiva con amplitud de 5 voltios, con una frecuencia del orden de ~1/(5τaprox) , donde τaprox = L/R1  ó   L/R2   según sea el caso.

4. Ajuste la frecuencia para tener en pantalla un ciclo del voltaje en el inductor y del resistor ( separados) como el de la Fig 2..

5. a) halle τ de la curva VRext .Es el tiempo que toma crecer a 0.63 del voltaje final. Deduzca Rind

   b) Mida los voltajes finales y deduzca Rind 

  c ) mida Rind directamente con un multímetro

6. Escriba la expresión para la  potencia suministrada por la batería en función de t. Grafíquela.

7. Detalle todos los pasos que llevan de la ec (3) a la (5)

8. Calcule la energía almacenada en el campo magnético en un intervalo igual a 5τ.

9.Cuánto tiempo ( aproximado) toma almacenarse esa energía ?

10. Cuánta energía han disipado los resistores en el intervalo 5τ ? Cuántos centavos puede costar esa energía ?